Κυριακή, 17 Φεβρουαρίου 2008

Οι ρίζες των μαθηματικών και οι καρποί της εξουσίας

Η μαθηματική σκέψη είναι έμφυτη στον άνθρωπο, αλλά η προαγωγή της έχει απόλυτη συνάφεια με τη γλώσσα και το πολιτισμικό υπόβαθρο. Και ενώ η ευχέρεια στα μαθηματικά λογίζεται ως κοινωνικό όπλο, η παγκοσμιοποιημένη κοινωνία μας αναζητεί απεγνωσμένα τρόπους για να απεγκλωβίσει τη διδασκαλία τους από τα δεσμά της... εξουσίας.

Τα τελευταία χρόνια πολλές εργασίες σε διεθνές επίπεδο στρέφονται γύρω από τον ρόλο που παίζει ο τεκμηριωμένος συλλογισμός στα μαθηματικά. Το άτομο καταλήγει να πάρει μια θέση αφού ακούσει - σταθμίσει - ψάξει για επιχειρήματα και τα αξιολογήσει, ενώ υπάρχει μια κοινή παραδοχή για τιμές και μαθηματικούς κανόνες. Τα πράγματα βέβαια γίνονται δύσκολα όταν προσπαθήσουμε να μιλήσουμε στην καθημερινή φυσική μας γλώσσα για θέματα μαθηματικά. Γι' αυτό και αντί της φυσικής γλώσσας φορτώθηκαν σιγά σιγά με σύμβολα και τύπους και το τοπίο σκοτείνιασε. Από τις χαρακιές επάνω σε κόκαλα και τη σφηνοειδή γραφή ως σήμερα όλα τα σύμβολα που χρησιμοποιούνται στα μαθηματικά, όπως αριθμοί, τύποι, πίνακες, διαγράμματα, γράφει, μπορούμε και τα βλέπουμε ενοποιημένα σαν «σημάδια» και στη συνέχεια ψάχνουμε να βρούμε τρόπους για το πώς θα τα μεταδώσουμε καλύτερα και πιο κατανοητά στους άλλους. Αλλά χωρίς αυτό να δημιουργεί σχέσεις εξουσίας ανάμεσα στον διδάσκοντα και στον διδασκόμενο. Αυτή τη στιγμή σε πολλές χώρες ψάχνονται διαθέτοντας χρήματα και σημαντικούς ανθρώπους γύρω από το θέμα «διδασκαλία των μαθηματικών».

Στην κοινή αντίληψη, κερδισμένος θα βγει όποιος καταφέρει να μη χαθεί στον μαθηματικό δαίδαλο χτισμένο από σύμβολα

Η πολύπαθη προπαίδεια

Στην Ελλάδα τα παιδιά μαθαίνουν όλη την προπαίδεια του πολλαπλασιασμού απέξω. Και πόσο κάνει 6Χ7 και πόσο κάνει 7Χ6. Στην Κίνα μαθαίνουν στα παιδιά μόνο το πόσο κάνει 6Χ7 και τους διδάσκουν ότι το 7Χ6 δίνει το ίδιο αποτέλεσμα με το 6Χ7 και έτσι κόβουν στο μισό, σε σχέση με εμάς, την ύλη που έχει να μάθει το μικρό παιδί για να εκτελεί πολλαπλασιασμούς.

Άλλοι λαοί στη γαλλική Auvergne ή στη ρουμανική Βλαχία από πολύ παλιά δεν χρειαζόταν να γνωρίζουν περισσότερο από το κομμάτι της προπαίδειας ως το 5. Γιατί αν είχαν να πολλαπλασιάσουν, για παράδειγμα, 6Χ7 αρκούσε να βρουν ο καθένας από τους δύο αριθμούς πόσες μονάδες περισσότερες από το πέντε έχει και τόσα δάχτυλα από το κάθε χέρι να λυγίσουν. Στο παράδειγμά μας λυγίζουμε ένα δάχτυλο στο αριστερό (6-5=1) και δύο στο δεξί (7-5=2). Συνολικά λοιπόν τρία δάχτυλα λυγισμένα και πολλαπλασιάζουμε 3Χ10=30. Πόσα δάχτυλα μένουν στο κάθε χέρι τεντωμένα; Τέσσερα στο αριστερό και τρία στο δεξί. Πολλαπλασιάζουμε 3Χ4=12, άρα το τελικό αποτέλεσμα είναι 30+12=42.

Όταν εξασκηθούμε αρκετά κάνουμε το ίδιο και με μεγαλύτερους αριθμούς. Π.χ. 12Χ14, μόνο που τώρα παίρνουμε τις διαφορές πάνω από το δέκα. Αρα λυγίζουμε 2 και 4 δάχτυλα στο κάθε χέρι. Προσθέτουμε 2+4=6, αυτό είναι οι δεκάδες μας, και πολλαπλασιάζουμε 2Χ4=8, που είναι οι μονάδες, και συνολικά έχουμε 100 (από το 10Χ10)+60+8 = 168! Υπάρχει βέβαια και ένας λαός που ζει ακόμη στα δάση του Αμαζονίου στη βραζιλιάνικη επαρχία Para, οι Mundurucu, που αν και είναι σε επαφή με τους λευκούς περισσότερο από διακόσια χρόνια, ζουν μια χαρά χωρίς η γλώσσα τους να διαθέτει λέξεις για αριθμούς μεγαλύτερους του 3!

Αγωνία για τη διδασκαλία

Στη Γερμανία κάθε νέο έτος αφιερώνεται σε μία από τις επιστήμες και το 2008 θα είναι αφιερωμένο στα μαθηματικά, με κορυφή των διαφόρων εκδηλώσεων τις εκθέσεις και τα δρώμενα που θα γίνουν από 28 Ιουνίου ως και 4 Ιουλίου στη Λειψία. Ταυτόχρονα ο αντίστοιχος του δικού μας ΟΤΕ γερμανικός οργανισμός δίνει τουλάχιστον 2 εκατ. € για παραστάσεις, εκθέσεις, ταινίες, διοργάνωση συζητήσεων, προγράμματα ακόμη και για τα νηπιαγωγεία σχετικά με τα μαθηματικά.

Στις Ηνωμένες Πολιτείες έβαλαν επικεφαλής του Εκπαιδευτικού Προγράμματος για τα Μαθηματικά έναν νομπελίστα καθηγητή, τον Carl Wieman, που εργάστηκε επάνω στην υπερρευστότητα, και του έδωσαν αρκετά εκατομμύρια δολάρια για να οργανώσει ξανά τη διδασκαλία των μαθηματικών στη Μέση Εκπαίδευση. Στη Μεγάλη Βρετανία δηλώνουν ότι ανησυχούν πολύ για τις ικανότητες των Άγγλων μαθητών στα μαθηματικά και στη Γαλλία ερευνούν πολύ εντατικά σχετικά με το πώς λειτουργεί ο εγκέφαλος όταν κάνουμε ακριβείς και όταν κάνουμε κατά προσέγγιση υπολογισμούς. Υπάρχει δηλαδή ένας οργασμός ερευνητικός γύρω από το θέμα πώς οι άνθρωποι έρχονται σε επαφή με τα μαθηματικά, ενώ σε εργασίες κυρίως στη Βόρεια Ευρώπη εξετάζεται και το θέμα του ρόλου των μαθηματικών στην αντίληψη των μαθητών περί δημοκρατίας και στις αντιλήψεις που επάγουν στις κοινωνικές και επαγγελματικές σχέσεις.

Μαθηματικά και δημοκρατία

Οι περισσότεροι εστιάζουν στο πώς ο μαθητής, της όποιας ηλικίας, θα εξοικειωθεί με τα σημάδια των μαθηματικών, κάνοντας στη συνέχεια με τη βοήθειά τους χρήση διαφόρων τεχνικών και σε επόμενη φάση ίσως επινοήσει νέες. Αλλά, κυρίως στην αρχή, με το μυαλό του σε πρακτικές της καθημερινής ζωής. Από το να καταλαβαίνουμε τις εκπτώσεις, τον ΦΠΑ, το Στοίχημα, ως τις προσφορές των τραπεζικών προϊόντων και τις ασφάλειες ζωής. Το θέμα μας όμως είναι αν μπορούν τα μαθηματικά να συσχετίζονται και με κάτι κοινωνικό.

Επ' αυτού υπάρχει μια ομάδα ερευνητών που δεν παραδέχεται την πλατωνική άποψη ότι «τα μαθηματικά έχουν μια αυτόνομη ύπαρξη, ανεξάρτητη από τους ανθρώπους οι οποίοι τα έχουν επινοήσει και τα χρησιμοποιούν», αλλά αντίθετα πιστεύει ότι «όταν τα μαθηματικά θεωρηθούν ως μία από τις πολλές κοινωνικές δραστηριότητες και πρακτικές που αναπτύσσουν οι άνθρωποι, τότε η συνάφειά τους με τα πολιτισμικά, πολιτικά και οικονομικά φαινόμενα γίνεται εμφανής».

Στατιστική, Πιθανότητες, Μαθηματικά μοντέλα, Μαθηματικά με τη βοήθεια υπολογιστών, Επιχειρησιακή έρευνα είναι πεδία που θεωρείται ότι εφοδιάζουν τους ανθρώπους του 21ου αιώνα με πολύ δυνατά «εργαλεία» (μερικοί μάλιστα προτιμούν τη λέξη «όπλα»), άρα τελικά με ισχύ (εδώ χρησιμοποιείται η λέξη power σε διάφορα ξενόγλωσσα κείμενα). Ετσι όσοι μαθητές τα καταφέρνουν στα μαθηματικά φαίνεται ότι αποκτούν και πρόσβαση σε μια πηγή ισχύος. Ενας άγγλος ερευνητής αυτών των θεμάτων, καθηγητής μαθηματικών και ο ίδιος, ο Tony Cotton, θυμάται ότι στο σχολείο του από το Δημοτικό ακόμη είχε ενταχθεί στην ομάδα των κορυφαίων μαθητών στην αριθμητική. Τις Παρασκευές γινόταν διαγωνισμός προφορικός για υπολογισμούς από μνήμης. Το παιδί που έπαιρνε τον υψηλότερο βαθμό καθόταν στο θρανίο Νο. 1, δίπλα στον δάσκαλο, όλη την επόμενη εβδομάδα. Ο δεύτερος στο αμέσως πιο κοντινό θρανίο και αντίστοιχα οι υπόλοιποι. Έτσι καταλαβαίνει κάποιος εύκολα τι αγωνία επικρατούσε κάθε Παρασκευή, και μάλιστα οι τελευταίοι ήξεραν ότι και οι γονείς πλέον γνώριζαν τη σημασία του κάθε θρανίου και αντιδρούσαν ανάλογα όταν πήγαιναν να πάρουν τα παιδιά τους από την τάξη. Τι φρίκη!

Γι' αυτό και ο Cotton μαζί με τους Δανούς Ole Skovmose και Paola Valero κάνουν λόγο για μια σχολική τάξη όπου «τα μαθηματικά αντί να είναι μόνο ένα εργαλείο για να εξηγείται η δομή του κόσμου γύρω μας, χρησιμοποιούνται για να διαμορφώνουν τον κόσμο». Και αντίστοιχα κάποιοι μαθηματικοί, επιφορτισμένοι με τη διδασκαλία σε οποιοδήποτε επίπεδο, ίσως πρέπει να αναρωτηθούν: Τι μαθηματικά διδάσκουμε; Πώς τα διδάσκουμε; Ποιες αξίες προωθούμε; Πώς αισθανόμαστε;

Σεβασμός στους Mundurucus

Υπάρχει μια μικρή πληθυσμιακή ομάδα στις όχθες του ποταμού Παρανά, στη Βραζιλία, που ήταν εύρημα για τον διάσημο μαθηματικό και καθηγητή της Πειραματικής Γνωστικής Ψυχολογίας Stanislas Dehaene, γνωστό και από το βιβλίο του «The Number Sense» με τον εύγλωττο υπότιτλο: Πώς το μυαλό φτιάχνει μαθηματικά.

Η μελέτη της γλώσσας των μελών της φυλής είχε αρχίσει από το 1998 και βρέθηκε ότι: δεν χρησιμοποιούσαν άλλες από περίπου πέντε λέξεις στην καθημερινή ζωή τους, μόνο για τους πρώτους τέσσερις ακεραίους αριθμούς και από εκεί και πέρα για ό,τι άλλο απαιτούσε κάτι περισσότερο είχαν τη λέξη «πολύ». Και ήταν εύρημα διότι σκέφθηκε πως αν η ικανότητά μας να σκεπτόμαστε μαθηματικά δεν είναι έμφυτη, δεν γεννιόμαστε δηλαδή με αυτήν, αλλά εξαρτάται από τα σύμβολα που μαθαίνουμε να χρησιμοποιούμε, οι Mundurucus θα έπρεπε να είχαν σχεδόν μηδαμινές δυνατότητες σε σχέση με τον χειρισμό συνόλων. Τα πειράματα όμως που έγιναν δεν αποκάλυψαν κάποια αδυναμία τους στις κατά προσέγγιση εκτιμήσεις του πλήθους διαφόρων αντικειμένων. Καταλάβαιναν στη στιγμή πότε πρόκειται να γίνει μία αφαίρεση, μία πρόσθεση ή μία στο περίπου σύγκριση. Και ας μην είχαν λέξεις για τα πλήθη των αντικειμένων που χειρίζονταν. Δεν ήξεραν να απαριθμούν τα αντικείμενα, αλλά μπορούσαν να κάνουν πράξεις με αυτά, και ας ήταν περισσότερα σε πλήθος από τρία ή τέσσερα.

Το τελικό και συγκλονιστικό, όπως ομολόγησαν οι ερευνητές, συμπέρασμα είναι ότι η ικανότητα για προσεγγιστικούς υπολογισμούς είναι μια πολύτιμη προίκα που ανήκει σε ένα σύνολο βασικών γνώσεων, κοινό σε όλο το ανθρώπινο είδος, άσχετα από το πώς και πού ζει ο καθένας μας. Ασχετα και από το αν μετά, με βάση μια άλλη περιοχή του εγκεφάλου όπου βρίσκεται το κέντρο της γλώσσας, κάποιοι λαοί και κάποιοι άνθρωποι ατομικά προχωρούν περισσότερο και αποκτούν πολύ πιο συγκεκριμένη αίσθηση των αριθμητικών ποσοτήτων και μπορούν να τις κατονομάζουν επιπλέον.

Αυτό το τελευταίο όμως δεν πρέπει να υποβάλλει κάποια αίσθηση ανωτερότητας σε μερικούς από εμάς, διότι οι άνθρωποι αναπτύσσουν τις ικανότητες που τους χρειάζονται. Οι Mundurucus μπορεί να μην έχουν την ικανότητα ακριβούς αρίθμησης, αλλά δεν χρειάζεται να προσπαθήσουμε να τους τη διδάξουμε. Όχι μόνο διότι ξέρουν όσα τους χρειάζεται για να ζήσουν στο δικό τους περιβάλλον, αλλά αν προσπαθήσουν να μάθουν όσα οι λευκοί δάσκαλοί τους διδάσκουν και στα δικά τους παιδιά, θα πρέπει να ξεχάσουν άλλα, εδώ και αιώνες χρήσιμα γι' αυτούς πράγματα. Όπως ίσως η εκπληκτική αίσθηση συμμετρίας που έχουν και τους βοηθάει να προσανατολίζονται μέσα στο δάσος και να αναγνωρίζουν ταυτόχρονα ένα πλήθος από πλάσματα που ζουν στο δάσος.

Η αλήθεια είναι ότι αυτή η πληθυσμιακή ομάδα δεν είναι η μοναδική. Η Annemarie Schimmel στο βιβλίο της «The Mystery of Numbers» πολύ πριν από τον Dehaene έκανε λόγο για πληθυσμούς στα βάθη της Τουρκίας που επίσης δεν είχαν πολλούς αριθμούς και για λαούς στην Αφρική που είχαν μια εξαιρετικά καλή αίσθηση για τα μεγέθη των κοπαδιών τους αλλά μόνο κατά προσέγγιση. Και από αυτά τα παραδείγματα θα πρέπει να προβληματιστούν πολύ όσοι θέλουν να ασχοληθούν με τα λεγόμενα εθνομαθηματικά. Διότι τα μαθηματικά του δυτικού κόσμου επέβαλαν τον ορθολογισμό των ισχυρών λευκών πάνω σε όλα τα άλλα είδη σκέψης και στις μορφές έκφρασης των άλλων, των μη Δυτικών, ιθαγενών που υπέστησαν την αποικιοποίηση και της σκέψης τους.

Η κοινωνική διάσταση

Για το πώς θα διδάσκονται μαθηματικά στην τάξη υπάρχει η πολύ ενδιαφέρουσα άποψη ότι αυτό ως πρακτική δεν πρέπει να θεωρείται θέμα που μένει μέσα στην τάξη και όλα ξεχνιούνται με το που θα χτυπήσει το κουδούνι, αλλά έχει και μια άλλη, κοινωνική διάσταση. Και αυτό το συνοψίζει καλά ένας ερευνητής, ο Lerman, που με δυο λόγια λέει ότι η αύξηση του ενδιαφέροντος για τις όψεις της εκπαίδευσης ειδικά στα μαθηματικά οφείλεται στην άποψη ότι οι κοινωνικές ανισότητες ενισχύονται και αναπαράγονται από την αποτυχία μερικών μαθητών μέσα στην τάξη και την επιτυχία μερικών άλλων ειδικά στο μάθημα αυτό.

Την ίδια στιγμή θεωρείται ότι τα μαθηματικά πλέον είναι κλειδί για την επιτυχία μιας αποφασισμένης «εργατικής δύναμης» που μετά τις σπουδές θα επιδοθεί σε πολύ απαιτητικές αλλά οικονομικά άκρως αποδοτικές επαγγελματικές δραστηριότητες. Εξαιτίας προφανώς και της παγκοσμιοποίησης και της συνάφειας με τους ηλεκτρονικούς υπολογιστές. Η αντίρρηση λοιπόν είναι στο ότι τα μαθηματικά κουβαλούν μαζί τους ισχύ και, με τη διδασκαλία να λειτουργεί κάπως σαν μαγικό ποτό, μια αίσθηση ισχύος τη μεταγγίζουν και σε όποιον γίνει καλός σε αυτά. Ή αλλιώς, όπως γράφει η Valero: οι δάσκαλοι μεταφέρουν γνώση στους μαθητές τους και ως αποτέλεσμα οι μαθητές τους (αισθάνονται να) αποκτούν ισχύ. Στη συνέχεια την ισχύ τους αυτή οι μαθητές και οι πρώην μαθητές την ασκούν όταν σχετίζονται με άλλους ανθρώπους.

Υπάρχει λοιπόν μια μερίδα εκπαιδευτικών που πιστεύουν ότι ζώντας σε μια άνιση και σε τάξεις διαιρεμένη κοινωνία, η εκπαίδευση στα μαθηματικά θα μπορούσε να βοηθήσει τα παιδιά να καταλάβουν και το πώς τα μαθηματικά και οι τεχνικές τους ευθύνονται για τη δημιουργία αυτών των ανισοτήτων. Αντίθετα η αδυναμία ενός ατόμου στα μαθηματικά το εμποδίζει να καταλάβει πόσο η κοινωνία είναι δομημένη επάνω σε διάφορες μαγικές εικόνες και σε κάποιους καταπιεστικούς μηχανισμούς. Ακόμη χειρότερα οι διαγωνισμοί και οι Ολυμπιάδες, ο χωρίς φαντασία τρόπος διδασκαλίας σε φροντιστήρια αλλά και σε αρκετά σχολεία και εδώ και έξω, με το να διορθώνονται μπροστά σε όλους τα λάθη κυρίως των αδυνάτων αφού αυτά είναι πιο συχνά και να επιδοκιμάζεται με μπράβο μπροστά σε όλους η καλή επίδοση, σκεπάζουν σχεδόν την ωφέλεια από τη διδασκαλία του μαθήματος. Διότι καθιερώνεται αυτή η απαράδεκτη ιδέα για ισχύ αλλά και η άποψη για λαούς πρωτόγονους, ανίκανους να λύσουν προβλήματα ή παιδιά-κακούς μαθητές και άλλα τέτοια, που η έρευνα γύρω από το θέμα όσο συνεχίζεται φαίνεται πως θα τα διαψεύδει.

Οι αριθμοί με λόγια

* Σύμβολα για τους αριθμούς χρησιμοποίησαν οι περισσότεροι λαοί. Τα σύμβολα για τους αριθμούς που χρησιμοποιούμε σήμερα είναι ινδικής προέλευσης και όχι αραβικής αφού γράφονται και διαβάζονται από αριστερά προς τα δεξιά, άλλωστε οι αραβόφωνοι χρησιμοποιούν άλλα σύμβολα από τα δικά μας.
* Εκτός από τους Ινδούς που πρωτοχρησιμοποίησαν σύμβολο για το μηδέν, οι Μάγιας, ίσως και πιο πριν, είχαν ένα άδειο όστρακο ως σύμβολο του μηδενός, κάτι που θυμίζει το σημερινό ακόμη και ως σχήμα.
* Σε σχέση με την αρίθμηση όλοι οι άνθρωποι διαθέτουν την ικανότητα να μπορούν να κάνουν κατά προσέγγιση εκτιμήσεις και συγκρίσεις ως προς το πλήθος κάποιων αντικειμένων που θεωρούνται σύνολο, π.χ. ένα κοπάδι ζώων, αν και ξεχωρίζουν με μεγαλύτερη ευκολία τη διαφορά ανάμεσα σε 20 και 23 αντικείμενα απ' ό,τι ανάμεσα σε 1.001 και 1.004 ενώ η διαφορά τους είναι ίδια.
* Παράλληλα με την πρώτη αυτή δυνατότητα σε λαούς που τους χρειάζεται, έχει αναπτυχθεί και η ικανότητα για ακριβή μέτρηση και ακριβείς πράξεις. Αυτή η ικανότητα συνδέεται και με την ανάπτυξη που έχει η γλώσσα του αντίστοιχου λαού. Ετσι εξηγείται ίσως και η ανάπτυξη των μαθηματικών στην αρχαία Ελλάδα, αφού η ελληνική γλώσσα αποδεικνύεται ένα εξαιρετικό εργαλείο για μαθηματικούς συλλογισμούς.
* Για ένα παιδί που παρουσιάζει δυσκολία στα μαθηματικά πρέπει να ξέρουμε ότι έχει έμφυτη την ιδέα των συνόλων και καλό είναι να εξετάσουμε μήπως οι κακές επιδόσεις του στη γλώσσα το εμποδίζουν να αποδώσει στο άλλο κομμάτι, της αριθμητικής.
* Για αιώνες οι μαθηματικοί πίστεψαν στην παντοδυναμία των μαθηματικών και έφθασαν να πιστεύουν ότι θα μπορούσαν ξεκινώντας από τα κατάλληλα αξιώματα να κατασκευάσουν μια συλλογιστική μηχανή που θα απεδείκνυε αυτόματα κάθε επιθυμητό και εφικτό θεώρημα. Ευτυχώς ο Γερμανός Kurt Godel κατάφερε να τους αποδείξει ότι κάτι τέτοιο δεν μπορεί να γίνει.
* Επίσης αμφισβητείται η πλατωνική αντίληψη ότι το σώμα των μαθηματικών ιδεών υπάρχει και οι μαθηματικοί απλώς ανακαλύπτουν κάθε τόσο ένα νέο κομμάτι του και δεν επινοούν κάθε φορά κάποια νέα σειρά συλλογισμών που οδηγεί σε νέες μαθηματικές κατασκευές.
* Σήμερα είναι καιρός να αμφισβητηθεί και ο τρόπος που ως τώρα διδάσκονται τα μαθηματικά σε σχέση με τις αντιλήψεις περί του δέους που προκαλεί και της αντίληψης περί ισχύος και ανωτερότητας αυτού που τα διδάσκει και κατ' επέκταση και του μαθητή που φθάνει στο σημείο να μπορεί να τα χειρίζεται με ευχέρεια.
* Σε πολλές χώρες, όπως είδαμε, υπάρχει οργασμός γύρω από το θέμα. και στην Ελλάδα, πέρα από κάποιους πανεπιστημιακούς στη Θεσσαλονίκη, χειμερία νάρκη.

Του Άλκη Γαλδαδά, στο ένθετο "ΒΗΜΑScience" του "Βηματος" της Κυριακής, 17 Φεβρουαριου 2008.