Σάββατο, 29 Νοεμβρίου 2008

Τα μαθηματικά είναι στη φύση μας

Η ικανότητα να κάνουμε μαθηματικούς υπολογισμούς είναι εγγενής και εκδηλώνεται πολύ πρόωρα στη ζωή των ανθρώπων ενώ ακόμη δεν διαθέτουν τις λέξεις για να την εκφράσουν. Τότε, όμως, πώς εξηγείται ότι ένας μεγάλος αριθμός μαθητών αντιπαθεί τα μαθηματικά;

Γιατί ορισμένα παιδιά συναντούν μεγαλύτερες δυσκολίες στα μαθηματικά από ό,τι άλλα; Συνήθως, αυτή η δύσκολη σχέση τους με τα μαθηματικά τα ακολουθεί σε όλη τους τη ζωή, αφού και ως ενήλικοι, όταν πρέπει να αντιμετωπίσουν ένα μαθηματικό πρόβλημα, νιώθουν μεγάλο άγχος και δυσφορία ενώ, στις πιο ακραίες περιπτώσεις, ακόμη και το άκουσμα της λέξης «μαθηματικά» τούς προκαλεί τρόμο.

Τα αίτια αυτής της απέχθειας για μια τόσο σημαντική νοητική δραστηριότητα θα πρέπει ασφαλώς να αναζητηθούν σε τραυματικές σχολικές εμπειρίες και στις εγκληματικές ανεπάρκειες της διδασκαλίας του μαθήματος των μαθηματικών. Εξάλλου, η κακή φήμη των μαθηματικών μεταξύ των μαθητών όχι μόνο αποτελεί κοινό τόπο, αλλά φαίνεται ότι είναι και απολύτως δικαιολογημένη: πλήθος ερευνών επιβεβαιώνουν ότι ήδη από το δημοτικό υπάρχουν σε κάθε τάξη κάποια παιδιά (πέντε με έξι, τουλάχιστον) που αντιμετωπίζουν ανυπέρβλητα μαθησιακά προβλήματα στην κατανόηση ακόμη και των στοιχειωδών μαθηματικών.

Η αντιμετώπιση από το σχολείο αυτών των «προβληματικών» μαθητών είναι συνήθως στρουθοκαμηλική: «Αυτοί φταίνε και όχι ο τρόπος διδασκαλίας, εξάλλου πρόκειται μόνο για μια προβλέψιμη μειοψηφία»! Το γεγονός, μάλιστα, ότι η επίσημη διδακτική στρατηγική συνήθως αγνοεί ή -ακόμη χειρότερα- αδιαφορεί παντελώς για τις πρόσφατες κατακτήσεις των γνωσιακών επιστημών και τις δυνατότητες που παρέχουν για έγκαιρη διάγνωση και αντιμετώπιση τέτοιων προβλημάτων δεν φαίνεται να προβληματίζει κανέναν υπεύθυνο. Καταδικάζοντας έτσι αυτούς τους «άτυχους» μαθητές σε έναν εφ' όρου ζωής μαθηματικό αναλφαβητισμό, με πολύ σοβαρές συνέπειες για τη δημόσια και την προσωπική τους ζωή.

Αυτές οι θλιβερές ανεπάρκειες του εκπαιδευτικού μας συστήματος, τουλάχιστον σε ό,τι αφορά τη διδασκαλία των μαθηματικών, γίνονται αμέσως αντιληπτές αν λάβουμε υπόψη μας τις εντυπωσιακές ανακαλύψεις των γνωσιακών ψυχολόγων και νευροεπιστημόνων. Πρόσφατες έρευνες σε αυτούς τους βασικούς τομείς της ευρύτερης γνωσιακής επιστήμης (cognitive science) αποκάλυψαν ότι οι άνθρωποι διαθέτουν, ήδη από τη γέννησή τους, μια έμφυτη «αίσθηση» των αριθμών και των απλών μαθηματικών σχέσεων, η οποία εκδηλώνεται πριν το παιδί αρχίσει να μιλάει!

Αν τα νεογέννητα παιδιά διαθέτουν «προλεκτικές» αριθμητικές ικανότητες, τότε από την ίδια του τη φύση ο εγκέφαλός τους τα προδιαθέτει θετικά, και σε κάθε περίπτωση τα διευκολύνει σημαντικά, για τη μετέπειτα μαθηματική εκπαίδευση που θα δεχτούν από το σχολείο. Ή, μάλλον, αυτό θα έπρεπε να συμβαίνει αν το εκπαιδευτικό μας σύστημα ακολουθούσε τις κατακτήσεις της σύγχρονης επιστήμης.

Η αίσθηση των αριθμών

Πώς, όμως, γνωρίζουμε ότι όντως διαθέτουμε εκ φύσεως κάποιες βασικές μαθηματικές ικανότητες; Η απάντηση σε αυτό το ερώτημα είναι κάθε άλλο παρά προφανής· αρκεί να σκεφτεί κανείς πόσο δύσκολο είναι να διακρίνουμε σαφώς ποια ανθρώπινα διανοητικά χαρακτηριστικά είναι «έμφυτα» και ποια «επίκτητα».

Για να απαντήσουν στο παραπάνω ενοχλητικό ερώτημα οι ερευνητές (γνωσιακοί ψυχολόγοι, νευροεπιστήμονες) έπρεπε να καταφύγουν σε «έξυπνα» πειράματα με παιδιά στη βρεφική ή νηπιακή ηλικία. Πρωτοποριακές σε αυτόν τον τομέα είναι οι έρευνες του Γάλλου Stanislas Dehaene και των συνεργατών του σε νοσοκομείο του Παρισιού (Orsay). Αυτοί οι ερευνητές απέδειξαν ότι στον εγκέφαλό μας υπάρχει μια ειδική περιοχή που εμπλέκεται σε αριθμητικές πράξεις, οι οποίες είναι πλήρως αποσυνδεδεμένες από γλωσσικά σύμβολα.

Το γαλλικό πείραμα έγινε σε αλλοδαπούς εθελοντές που ως μητρική γλώσσα είχαν τη ρωσική, μιλούσαν όμως και την αγγλική. Οι εθελοντές υποβλήθηκαν σε δύο τεστ. Στο πρώτο τούς ζητούσαν να πουν το ακριβές αποτέλεσμα από το άθροισμα δύο αριθμών που εμφανίζονταν στην οθόνη ενός υπολογιστή. Αμέσως μετά εμφανίζονταν δύο διαφορετικές απαντήσεις εκ των οποίων μόνο η μία ήταν η σωστή. Οι απαντήσεις ήταν διατυπωμένες γραπτά με γράμματα και όχι με αριθμούς και οι εθελοντές απαντούσαν πατώντας το πλήκτρο που αντιστοιχούσε στη σωστή απάντηση. Στο δεύτερο τεστ τούς ζητούσαν και πάλι να υπολογίσουν το άθροισμα δύο αριθμών· αυτή τη φορά όμως και οι δύο απαντήσεις που εμφανίζονταν στην οθόνη ήταν κατά προσέγγιση, ενώ η μία από τις δύο πλησίαζε περισσότερο τη σωστή απάντηση (π.χ., 15 + 10 = «είκοσι» ή «είκοσι τέσσερα»). Σε κάθε δοκιμασία μετρούσαν τους χρόνους αντίδρασης των εθελοντών, δηλαδή πόσος χρόνος περνούσε μέχρι να πατήσουν το κουμπί επιλέγοντας μία απάντηση.

Αν η λύση αυτών των προβλημάτων στοιχειώδους αριθμητικής βασιζόταν στη χρήση της γλώσσας, τότε το πέρασμα από τη μία γλώσσα στην άλλη (από τα ρωσικά στα αγγλικά) θα συνεπαγόταν κάποια διαφορά στους χρόνους αντίδρασης των εθελοντών. Το αποτέλεσμα ήταν απροσδόκητο: όταν οι εθελοντές έπρεπε να επιλέξουν ανάμεσα στη σωστή και τη λάθος λύση, ήταν πολύ ταχύτεροι αν η απάντηση ήταν διατυπωμένη στη μητρική τους γλώσσα· όταν όμως έπρεπε να επιλέξουν τη σωστότερη απάντηση από τις δύο κατά προσέγγιση λύσεις, τότε δεν υπήρχε καμία χρονική διαφορά στις απαντήσεις τους σε όποια γλώσσα και αν διατυπώνονταν.

Αυτή η αλλόκοτη συμπεριφορά δημιούργησε στους ερευνητές την εύλογη υποψία ότι οι απαντήσεις στα δύο τεστ εμπλέκουν δύο διαφορετικές εγκεφαλικές διεργασίες αναπαράστασης των αριθμών, οι οποίες ενδεχομένως πραγματοποιούνται από δύο διαφορετικά εγκεφαλικά «κέντρα». Πράγματι, σε μια δεύτερη φάση επανέλαβαν το ίδιο πείραμα παρακολουθώντας αυτή τη φορά λεπτομερώς τη λειτουργία του εγκεφάλου των εθελοντών με τις κατάλληλες μηχανές αναπαράστασης της λειτουργίας του εγκεφάλου.

Διαφορετικές εγκεφαλικές διεργασίες αναπαράστασης και επεξεργασίας των αριθμών πραγματοποιούνται από δύο διαφορετικά εγκεφαλικά «κέντρα»: για τους ακριβείς αριθμητικούς υπολογισμούς ενεργοποιείται μια εγκεφαλική ζώνη του μετωπιαίου λοβού στο πρόσθιο τμήμα του αριστερού εγκεφαλικού ημισφαιρίου (πάνω). Ενώ για τις κατά προσέγγιση αριθμητικές απαντήσεις ενεργοποιείται μια εντελώς διαφορετική περιοχή: ένα ευρύτερο πεδίο του βρεγματικού φλοιού και των δύο εγκεφαλικών ημισφαιρίων (κάτω)

Ετσι, ο Dehaene και οι συνεργάτες του ανακάλυψαν ότι για τους ακριβείς αριθμητικούς υπολογισμούς ενεργοποιείται μια εγκεφαλική ζώνη του μετωπιαίου λοβού στο πρόσθιο τμήμα του αριστερού εγκεφαλικού ημισφαιρίου, περιοχή που ήταν γνωστό ότι εμπλέκεται και στις γλωσσικές διεργασίες. Αντίθετα, για τις κατά προσέγγιση αριθμητικές απαντήσεις ενεργοποιείται μια εντελώς διαφορετική περιοχή: ένα ευρύτερο πεδίο του βρεγματικού φλοιού και των δύο εγκεφαλικών ημισφαιρίων!

Οι ερευνητές λοιπόν κατέληξαν στο εύλογο συμπέρασμα ότι οι ακριβείς αριθμητικοί υπολογισμοί βασίζονται σε ένα λεκτικό-συμβολικό σύστημα αναπαράστασης των αριθμών, ενώ οι κατά προσέγγιση υπολογισμοί βασίζονται σε ένα χωρικό-οπτικό (όχι γλωσσικό) σύστημα αναπαράστασης των αριθμητικών ποσοτήτων. Οι πρόωρες μαθηματικές ικανότητες των βρεφών προκύπτουν πιθανόν από αυτόν τον δεύτερο τύπο εγκεφαλικής αναπαράστασης. Καθώς όμως ενηλικιώνονται τα παιδιά, αυτή η αρχική τους «αίσθηση των αριθμών» διαπλέκεται σταδιακά με τις λεκτικές-συμβολικές αναπαραστάσεις των αριθμών, γεννώντας πιο περίπλοκες μαθηματικές ικανότητες που ενδέχεται να οδηγήσουν στην ανάπτυξη της αφηρημένης μαθηματικής σκέψης!

Οι μαθηματικές δεξιότητες

Πλήθος ανάλογων πειραμάτων σε όλον τον κόσμο επιβεβαιώνουν ότι τα παιδιά ήδη από τους πρώτους μήνες της ζωής τους είναι σε θέση να διακρίνουν μικρές αλλά διαφορετικές μεταξύ τους αριθμητικές ποσότητες. Αυτή την πρωτογενή ικανότητα να διακρίνουν αμέσως διαφορετικά αριθμητικά σύνολα αντικειμένων, αρκεί βέβαια να είναι αρκετά μικρά (από ένα έως τρία), οι ειδικοί την αποκαλούν «subitizing», δηλαδή πρώιμη προλεκτική ικανότητα για άμεση και στοιχειώδη απαρίθμηση. Για παράδειγμα, βρέφη λίγων μηνών διακρίνουν σαφώς τη μία μπαλίτσα από τις δύο ή τρεις μπαλίτσες ή ότι τρία επαναλαμβανόμενα ακουστικά σήματα διαφέρουν από δύο ή ένα ίδιο σήμα.

Η Αμερικανίδα νευροψυχολόγος Karen Wynn απέδειξε, μάλιστα, ότι ήδη από τον πέμπτο μήνα αυτή η στοιχειώδης αλλά ακριβής αριθμητική αναπαράσταση επιτρέπει στα βρέφη να δημιουργούν αριθμητικές προσδοκίες, λες και μπορούν να κάνουν μικρές αφαιρέσεις ή προσθέσεις!

Εκτός όμως από έναν έμφυτο μηχανισμό για την ακριβή αναπαράσταση μικρών αριθμητικών ποσοτήτων, τα μωράκια διαθέτουν επίσης και έναν μηχανισμό διάκρισης των μεγαλύτερων από τις μικρότερες αριθμητικές ποσότητες: ξεχωρίζουν σαφώς τα 8 από τα 16 ίδια αντικείμενα. Και μάλιστα, βασιζόμενα στις διαφορετικές αριθμητικές ποσότητες και όχι σε άλλες ιδιότητες, όπως το χρώμα ή ο όγκος που καταλαμβάνουν στον χώρο.

Μέχρι πρόσφατα οι ειδικοί θεωρούσαν δεδομένο ότι η ανάπτυξη της γλώσσας ήταν η αναγκαία και ικανή προϋπόθεση για την εκδήλωση κάθε ανώτερης διανοητικής δραστηριότητας, συμπεριλαμβανομένων των μαθηματικών. Ωστόσο, οι πιο πρόσφατες και συστηματικές έρευνες πάνω σε βρέφη και μικρά νήπια απέδειξαν ότι αυτό δεν ισχύει. Αντίθετα, είναι πλέον σαφές ότι υπάρχουν έμφυτες και «προλεκτικές» αριθμητικές ικανότητες πάνω στις οποίες οικοδομούνται σταδιακά οι πιο αφηρημένες, συμβολικές και συνθετότερες μαθηματικές ικανότητες.

Αυτή την απροσδόκητη ανακάλυψη επιβεβαίωσαν πρόσφατα και οι πειραματικές μελέτες του πρωτοπόρου ερευνητή Brian Butterworth, καθηγητή Νευροψυχολογίας στο University College του Λονδίνου. Ηδη διάσημος από τις έρευνές του σχετικά με τη δυσλεξία, τελευταία έχει στραφεί κυρίως στη συστηματική μελέτη της ανάπτυξης των μαθηματικών ικανοτήτων. Η συγκεκριμένη έρευνα του Butterworth έγινε στην Αυστραλία και για την υλοποίησή της συνεργάστηκαν δύο ομάδες ερευνητών, μία βρετανική και μία αυστραλιανή.

Με την έρευνα αυτή απέδειξαν ότι «Οι υπολογιστικές ικανότητες των παιδιών είναι πάντα οι ίδιες», είτε πρόκειται για παιδιά που μιλάνε αγγλικά, μια γλώσσα πλούσια σε μαθηματικές λέξεις και έννοιες, είτε πρόκειται για την «πρωτόγονη γλώσσα» των Αβορίγινων, ντόπιων κατοίκων της Αυστραλίας, που έχει ελάχιστες μαθηματικές λέξεις ή εκφράσεις. Πράγματι, υποβάλλοντας σε κάποια ειδικά μαθηματικά τεστ τα παιδιά των Αβορίγινων ηλικίας 4-7 ετών, κατέληξαν ότι όλα ανεξαιρέτως παρουσίαζαν τις ίδιες επιδόσεις στην αριθμητική, είτε η γλώσσα τους ήταν πλούσια σε αριθμητικές έννοιες είτε όχι! Μία ακόμη απόδειξη ότι οι στοιχειώδεις μαθηματικές ικανότητες είναι εγγενείς και ανεξάρτητες από τη δυνατότητα ή μη της γλωσσικής τους έκφρασης.

«Το ανθρώπινο είδος», όπως υποστηρίζει ο Brian Butterworth, γεννιέται με την ικανότητα να αντιλαμβάνεται τον κόσμο μέσω των αριθμών, όπως ακριβώς γεννιέται με την ικανότητα να τον βλέπει έγχρωμο». Από ό,τι φαίνεται, ο Πυθαγόρας και ο Πλάτωνας, αλλά και οι σύγχρονοι λιγότερο πρωτότυποι οπαδοί τους, μάλλον σφάλλουν όταν αναζητούν στο αιθέριο σύμπαν των μαθηματικών κάποιες απόλυτες και αιώνιες αλήθειες. Ακόμη και το αφηρημένο και φαινομενικά «πνευματικό» σύμπαν των μαθηματικών έχει τελικά τις ρίζες του στη... βιολογία μας!

Του Σπύρου Μανουσέλη. Από την ΕΛΕΥΘΕΡΟΤΥΠΙΑ του Σαββάτου, 6 Σεπτεμβρίου 2008.

Μήπως πρέπει να αναθεωρήσουμε τη μαθηματική μας εκπαίδευση;

Στην αρχή της ζωής τους, όπως είδαμε, η σχέση των ανθρώπων με τα μαθηματικά είναι απολύτως φυσική. Ηδη από τους πρώτους μήνες τα βρέφη είναι σε θέση να διακρίνουν και να επεξεργάζονται υποσυνείδητα και με μεγάλη ευκολία μικρές αριθμητικές ποσότητες. Στα πρώτα τους χρόνια μαθαίνουν να μετράνε με τη βοήθεια των δακτύλων των χεριών: τα δάκτυλα είναι ένα πολύτιμο εργαλείο για τις πιο σύνθετες μετρήσεις, ενώ ταυτόχρονα η αρίθμηση με τα δάκτυλα επιτρέπει στα παιδιά να συσχετίζουν την αφηρημένη λεκτική εκφορά ενός αριθμού ή μιας πράξης με μια πραγματική ποσότητα!

Γιατί, λοιπόν, αυτή η απολύτως φυσική, αρχικά, σχέση των νηπίων με τα μαθηματικά γίνεται μετέπειτα στο σχολείο προβληματική και εξαιρετικά βασανιστική για έναν μεγάλο αριθμό παιδιών; Γιατί τόσα παιδιά καταλήγουν να μισούν ένα τόσο χρήσιμο και γοητευτικό μάθημα όπως τα μαθηματικά;

Μόνο σε ελάχιστες περιπτώσεις αυτή η δυσκολία των παιδιών με τα μαθηματικά οφείλεται σε πραγματική δυσλειτουργία της μαθηματικής σκέψης. Πράγματι, οι ειδικοί αποκαλούν «δυσαριθμησία» (Dyscalculia) αυτή την εγγενή δυσκολία ορισμένων μαθητών με τις μαθηματικές πράξεις. Αυτή η δυσλειτουργία οφείλεται συνήθως σε σοβαρές μορφολογικές ή λειτουργικές διαταραχές στις περιοχές του εγκεφάλου που σχετίζονται με τις μαθηματικές μας ικανότητες.

Τα παιδιά όμως που παρουσιάζουν αυτή τη νευρολογική διαταραχή είναι ελάχιστα: μόνο το 1% ή, το πολύ, το 2% ενός μεγάλου πληθυσμού, και όχι βέβαια το 1 στα 5 παιδιά που έχει σοβαρές δυσκολίες με το μάθημα των μαθηματικών στο σχολείο! Ολο και περισσότεροι ειδικοί αναγνωρίζουν ότι ορισμένες βασικές μαθηματικές ικανότητες βασίζονται σε έμφυτους νοητικούς μηχανισμούς, όπως εξάλλου συμβαίνει και με τις γλωσσικές και τις κινητικές ικανότητες. Ενώ όμως για την ανάπτυξη και την ενδυνάμωση των γλωσσικών και κινητικών ικανοτήτων του παιδιού οι γονείς και οι δάσκαλοι καταφεύγουν αντιστοίχως στην ομιλία ή στην ανάγνωση και στην κίνηση ή στη γυμναστική, για την ανάπτυξη των μαθηματικών ικανοτήτων επιμένουν στην αφηρημένη λεκτική οδό. Το πρώτο πράγμα που ζητάμε από το παιδί είναι να εξασκηθεί στο να «λέει» και όχι στο να χρησιμοποιεί πρακτικά τους αριθμούς. Εξάλλου, είναι γνωστό ότι το σχολείο συνήθως εξασκεί τα παιδιά στο να εργάζονται με τους αριθμούς σαν να είναι απλώς σύμβολα, να τους χειρίζονται δηλαδή σαν να ήταν λέξεις ή γράμματα.

Οπως είναι φυσικό, σε αυτή την ανοίκεια και αφηρημένη προσέγγιση των μαθηματικών ανταποκρίνονται επιτυχώς μόνο εκείνα τα λίγα παιδιά που έχουν ιδιαίτερες αριθμητικές ικανότητες, ενώ οι υπόλοιποι μαθητές καταδικάζονται στην άγνοια ή, στην καλύτερη περίπτωση, στην επιφανειακή και μηχανική αναπαραγωγή των μαθηματικών γνώσεων.

Tου Σπύρου Μανουσέλη. Από την ΕΛΕΥΘΕΡΟΤΥΠΙΑ του Σαββάτου, 6 Σεπτεμβρίου 2008.